奇异悖论：证伪主义本身可以被证伪吗

什么是“无限多”个观察者？

且慢！且慢！“这一只乌鸦是黑的”这一陈述中真的隐含着“对一切观察者为真”这样的全称陈述吗？我们知道，“一切乌鸦皆黑”是一个全称陈述，这里“一切”涉及到无限，正因为隐含着无限多只乌鸦，这个命题才不能确证。但是世界上只有有限个观察者，这里“一切观察者”怎么会是全称陈述呢？所有全称陈述都涉及到无限，而世界上所有观察者加起来不会超过五十亿！人们通常用“一切自然数集合”“满足x2+y2=c2的一切实数集合”来规定一个无限集合。但这些集合通常只是数，而不是现实存在的东西。今天，科学已经证明世界是有限的，宇宙年龄不过几百亿年，宇宙半径也不过数百亿光年，即使宇宙中的电子数目，虽然大到无法计算，但总是有限的。因此，大凡那些全称陈述都不是一种对有限存在之概括，而是猜测。要它成为可确证的，“一切”一定不能涉及无限集。因而一切观察者不是全称。这是上了语义游戏的当！

这种观点在哲学界十分流行，似乎顺理成章，无懈可击，但我认为它是错误的。确实，宇宙是有限的，任何观察也是有限的，但一个全称陈述不可确证的理由绝不是因为它包含着无限。当然，世界上没有无限多的实物，也没有无限多次观察，但无限绝不是一种虚构，它实际上是指某种构造程序。今天数学家已证明，有一类无限可以用行之有效的程序构造出来。当我们谈这类无限集时，实际上并非指实体本身，而是指这种有效可行的构造程序。哲学家所用的全称陈述中的无限，也是基于这种程序。从这个程序出发，我们可以证明：“对一切观察者为真”包含了无限，它们都是全称陈述。在证明这一点前，我们先来考察一下数学家如何构造无限。

以自然数为例，我们知道自然数有无限多个，但原则上其中任何一个自然数我们都可以用一种有效的法则来找到它，或者说其每一个元素都可以有效地被构造。构造程序如下：对于我们任意给定的一个自然数n，我们必定可以生成一个新的数n+1，它和已给定的前n个自然数完全不同。这从由n给出n+1的方法是存在的，有效的，并非虚构。用这种方法虽然每次我们都只给出有限个自然数，但这构造程序本身就对应着“无限”！也就是说，无限用一种有效地超越有限来定义。换言之，我们说存在着无限多个自然数，并非说它对应着无限多个实物（数是实物的抽象），而是指我们掌握着一种方法。这种方法是：针对任何有限个东西，我们一定可以指出（可构造出）与这有限个东西不同的东西。这种构造方法带来的开放性就是无限。数学家把这种构造方法称为“递归枚举”，也就是说，一个可以有效生成的无限集是递归可枚举的。

我认为，“一切乌鸦皆黑”这个陈述中之所以包含了无限，关键在于我们能找到一个有效的方法来判别任何一只飞禽是否是乌鸦。其中包含着和上面生成无限个自然数集合同样的程序。这个程序如下：首先，我们用一组标准来定义乌鸦：例如形状T1，食性T2，解剖学特性T3等等。然后拿T1，T2，T3，……来衡量所有的飞禽。当某一只飞禽满足这些特性，我们将其放到一起，称其为乌鸦集合。所谓“一切”乌鸦集合并非是一种数学虚构（虽然世界上乌鸦数必定是有限的），而是指对我们眼前出现的任何一只飞禽，我们都可以用T1，T2，T3，……标准来衡量它，看它是否属于乌鸦集。这里不仅包括了今天世界上所有的乌鸦，还涉及到了那些在乌鸦巢中尚未孵化的蛋中所包括的东西，以及这些小乌鸦的后代。当然，即使把未来（只要时间限定）所有的乌鸦都包括进来，乌鸦集还是有限的。“一切乌鸦”之所以是无限集，它意味着用标准T1，T2，T3，……来衡量飞禽，看它是否属于乌鸦的可行性。这种程序和构造自然数的方法一模一样，3“一切乌鸦皆黑”这个陈述之所以是一种猜测，并不是由于“一切乌鸦集合”中包含着无限，它是一种数学虚构。而是我们用于鉴别某一种飞禽是否是乌鸦的那个程序中不包含“判断它为黑”这一程序，下面我们给出一个简单的证明。

在此，我们对乌鸦有两种不同的定义，第一种定义是特征T1，T2，T3，…… 中不包含“黑色”这一特征。但我们却发现，用这种标准收集起来的n只飞禽碰巧都是黑的。于是我们作了“一切乌鸦皆黑”的猜测。十分明显，我不能保证用这种程序收集进来的第n+1只乌鸦一定也具有黑的特征，这正是“一切乌鸦皆黑”是一个猜测而非确证的原因。如果我们一开始把黑色也作为一个特征包括在对乌鸦的定义T1，T2，T3……之中，那么“一切乌鸦皆黑”虽然是一个全称陈述， 它涉及到无限只乌鸦，它也是一个可确证的命题！这里并非是“无限”规定了全称陈述只可能是猜测。4

明确了这一点，“对一切观察者为真”，也是一个全称陈述就毫无异议了。正如世界上只有有限只乌鸦不妨害我们可以说“一切乌鸦”一样，我们同样采用递归方法来描述某一个现象被一切观察者看到，“这只乌鸦是黑的”是一个可以确证的陈述，这是因为你可以把它拿给任何一个观察者看。这里也包含着与递归枚举类似的程序：即使已经有n个观察者看过了，但我们总能构造出第n+1观察者。你只要拿出鸟笼，并保证这一只乌鸦还是原先那只特殊的乌鸦（具有特征T1，T2，T3，…… 并且是黑的），只要第n+1个观察者的观察条件也和原来n个没有什么不同。那么它对第n+1个观察者也是黑的。这里虽然观察者是有限的。但对“一切观察者为真”却是一种类似于构造无限多那样的递归可枚举程序。这个事件被确证是指这种程序可靠、有效，“一切观察者”当然和“一切乌鸦”一样，是一个全称陈述。

现在，我想，可以在科学哲学中引进一个新的概念，当某一现象对n个观察者为真，它必然对第n+1个观察者也为真时，我们将其称为“递归确证”。我认为，“递归确证”正好刻画了那些可确证性观察与不可确证性观察的本质区别。“尼斯湖怪”不是一个可以递归确证的观察，一只黑乌鸦却可以。同样，看到过特异功能表演的观察者虽然远比看到过超导现象的人多，但对于超导实验，它是可递归确证的，只要第n+1个观察者想看到它，当他去实现前n个发现者所宣布的条件（当然这需要昂贵的仪器和复杂的技术），原则上他一定能观察到这个现象。而特异功能却不能满足这个条件，它至今还是由个别观察者看到的个别现象，观察者再多，也构不成对“一切观察者”成立所必须的递归确证之程序。

奇异悖论：人造乌鸦

至今为止，有人也许仍然认为我是在鸡蛋里挑骨头。即使“这一只乌鸦是黑的”这一陈述中隐含着“一切观察者”这样的全称陈述，这又有什么关系呢？就乌鸦而言，“这一只乌鸦”毕竟是一个单称陈述呀！我们为什么不能认为，对于观察者的全称陈述是不同于观察对象的全称陈述的。只要把两者严格区别开来，上述讨论充其量是构成对证伪主义的补充而非挑战。但是，我发现，事情比想象的要麻烦得多。因为存在着某些陈述，从“递归确证”来看，“对于观察者的全称陈述”和“对于观察对象的全称陈述”在形式结构上是等价的。我们完全可以构造出一个全称陈述，它对观察对象是递归确证的，也就是说，只要相信确证单称陈述的方法是递归确证，那么我们有可能构造一个有关观察对象的全称陈述，使得它也是可以确证的，从而构成证伪主义未曾考虑到的反例。

今天遗传工程已取得长足进展，工程师通过切割和组合基因的方法可以制造出一些自然界没有的生物来。我们可以设想，在二十一世纪的某一天，科学家已经完全掌握了这种基因控制的新技术。他们可以在实验室中用基因工程制造出一只地道的人造乌鸦。回忆一下我们对乌鸦的定义，它是满足性状T1，T2，T3，……的飞禽。自古以来，鸟类学是用这一组标准来选择飞禽，以构成“一切乌鸦的集合”的。现在，情况变了，遗传工程技术只要控制一组基因τ1，τ2，τ3，……就能在实验室里制造出一只具有T1，T2，T3，……性状的乌鸦。如果他们有一天发现，用控制基因τ1，τ2，τ3，……方法制造出的乌鸦都是黑的，而且这个实验可以普遍地被重复，也就是说，任何一个实验者只要去实现这组条件，他一定可以合成一只满足性状T1，T2，T3，……的鸟，而且这只鸟一定是黑的。生物学家对此并不奇怪，他们想，这是因为τ1，τ2，τ3，……基因不仅规定了乌鸦的性状T1，T2，T3，……，而且同时也规定了它的颜色，这时我们能说：“一切乌鸦皆黑”只是一个猜测吗？不！现在它已和“这一只乌鸦是黑的”这个命题等价了。如果我们承认“这一只乌鸦是黑的可确证，必定也要承认，上述“一切人造乌鸦皆黑”也可确证。

我在前面已证明，“一切乌鸦皆黑”之所以是猜测，主要在于构造乌鸦集的程序不包含鉴别“它为黑”的程序。而在人造乌鸦的例子中，构造人造乌鸦的程序（实行基因控制τ1，τ2，τ3，……）却已包含了“鉴别它是黑的”程序（因为这个实验对所有观察者可重复）。在这里，“一切人造乌鸦皆黑”是一个被证明的命题！进一步看，一旦我们用满足性状T1，T2，T3，……的飞禽来定义乌鸦，而不管它的来历，即自然界乌鸦的性状也是在基因τ1，τ2，τ3，……控制下形成的，那么人造乌鸦集和自然界中那些从蛋里孵化的乌鸦是同样的，这时，我们难道不能说“一切乌鸦皆黑”这一陈述已被生物工程证实了吗？

当然，这个例子是完全虚构的，今天我们仍然不知道控制乌鸦性状T1，T2，T3，……的基因是否控制它的颜色。（在大多数情况下，这个命题不成立。控制形状和控制颜色是由不同基因承担的，它们可分离。因此黑色和乌鸦的其他性状是偶然相关，正如存在黑天鹅一样，或许有一天会找到白乌鸦。）但是在科学上，我们却可用递归确证的条件举出很多和上述人造乌鸦同类的全称陈述，它们也是可以确证的。下面就是一些例子：

“在0℃和一个大气压下，纯净的水将结冰。”

“在标准情况下，一个克分子的气体的体积为22.4升”。

“在标准情况下，氮气的密度比氢大。”

“在标准情况下，纯净的水的密度为“1±△X”，其中△X为误差。”

……

在这近于无穷多的例子中，无论是条件集（0℃，一个大气压），还是“水”、“克分子气体”，都是全称性的，这些全称陈述并不象“一切乌鸦皆黑”那样，只是猜测而已，而是象“这一只乌鸦是黑的”那样，是可以确证的。

粗略一看，我断言这些陈述可以被确证似乎十分荒唐，因为我混淆了个别与一般。任何一个观察者做实验，只能实现此地此刻的0℃和一个大气压，观察这个实验中的水。因而被确证的总是单称陈述。而上述陈述中温度、压力和纯净的水却涉及全称，因此被确证的只能是个别观察，而非上述包含的全称量词的陈述。其实正是这个貌似合理，实际上却是与能否确证无关的个别与一般之关系构成了一个极深的陷井，使得哲学家没有发现，对于递归确证而言，上述陈述和“这一只乌鸦为黑”具有相同的结构。

只要运用递归确证条件，我们可以把“这一只乌鸦为黑的”表示成如下形式：当条件T1，T2，T3，……成立时，或任何一个观察者去实现条件T1，T2，T3，……时，他观察到乌鸦为黑。这里，T1表示这一个观察者看到的乌鸦和别的观察者看到的乌鸦为同一只乌鸦，T2表示观察者都不是色盲，T3表示乌鸦的颜色不会由地点和别的条件的不同（例如月球离地球的距离等）而改变等等。这里除 T1，以外， T2，T3，………都是一些全称量词。5我们之所以断言“‘这一只乌鸦是黑的’并非我的幻觉”。关键在于任何一个观察者在实现条件T1，T2，T3，…… 时都可以看到相同现象E。然而，水在0℃和一个大气压下结冰，酚肽在酸性溶液中成红色，这些全称陈述难道不正好也可以表示成，在条件T1，T2，T3，…… 下，任何一个观察者都能看到现象E吗？由此可证，对于递归确证条件而言，两者完全等价！

读者或者还有疑问，为什么实验者A实现条件T1，T2，T3，…… 时观察到现象E一定可以保证另一个实验者B在实现同样条件时也能观察到现象E呢？要知道这只是一个猜测！即使一万个观察者重复了水在0℃和一个大气压下结冰这一实验，我们也不能担保第一万零一个观察者也会观察到这个现象。因此，我们能说水在0℃和一个大气压下结冰这一全称陈述已被确证吗？是的，这个哲学上称为休谟问题的难题至今没有解决。每当黑夜过去，太阳总是升起，但是亿万次重复不是证明，前n个观察者重复了实验不能保证第n+1个观察者也能重复实验。但是，请读者不要误解我的意思，我仅仅证明了，递归确证条件不成立，那么单称陈述也不能确证。一只乌鸦在给n个人看过，被鉴定为黑以后，我们同样不能保证在给第n+1个人看时，乌鸦的颜色一定不会突变，使得对于新的观察者它也是黑的。（因为对于新的观察者、时间、地点或其他条件总有和原来观察者不同的地方）也就是说，如果有一些单称陈述是一定可以确证的，那么我提出的递归确证必定成立，本节所提出的那些被证伪主义看作猜测的命题必定也是可以确证的。我把这疑难称为奇异悖论（或者Jin’s悖论）。它构成对证伪主义的疑难。