黎曼猜想比哥德巴赫猜想还重要：500年也难解决

2012年03月16日 08:15
来源：南方周末

字号:T|T

0人参与0条主评论 0条评论0条总评论 打印 转发

粗看起来，这似乎是很微不足道的成果，一个带状区域的边界跟它的内部相比，从面积上讲比例实际上是零。但是别小看了这个成果，它对于研究黎曼猜想来说只是一小步，对于研究另一个数学猜想来说却是巨大的飞跃，因为它直接导致了后者的证明。那个数学猜想如今已被称为素数定理，它所描述的是素数的大范围分布规律。素数定理自被提出以来悬而未决已超过一百年，在当时乃是一个比黎曼猜想更令数学界期待的东西。

在上述成果之后又隔了十八年，1914年，丹麦数学家玻尔与德国数学家兰道取得了另一个阶段性成果，那就是证明了黎曼ζ函数的非平凡零点倾向于“紧密团结”在临界线的周围。这个结果用数学语言来说，就是包含临界线的无论多么窄的带状区域都包含了黎曼ζ函数的几乎所有非平凡零点。不过“紧密团结”归“紧密团结”，这一结果却不足以证明任何一个零点恰好就在临界线上，因此它距离黎曼猜想的要求仍然相差很远。

但就在那同一年，另一个阶段性成果出现了：英国数学家哈代终于将“红旗”插上了临界线——他证明了黎曼ζ函数有无穷多个非平凡零点位于临界线上。粗看起来，这似乎是

一个非同小可的结果，因为黎曼ζ函数的非平凡零点总共就是无穷多个，而哈代已经证明了无穷多个零点位于临界线上，从字面上看，两者简直一模一样了。可惜无穷大是数学中一个很微妙的概念，同样是无穷大，彼此却未必是一回事，不仅未必是一回事，简直可以要差多远就差多远，甚至差无穷远！因此，为了知道哈代的结果离黎曼猜想的要求还有多远，我们需要更具体的结果。

那样的具体结果出现在七年后的1921年。那一年，哈代与英国数学家李特伍德合作，对自己七年前那个结果中的“无穷多”做出了具体估计。那么，按照这个具体的估计，那位于临界线上的“无穷多个非平凡零点”跟全部非平凡零点相比，究竟占多大的百分比呢？答案可能沮丧得出乎读者们的意料：百分之零！

数学家们将这个百分比推进到一个大于零的数字是在二十一年后的1942年。那一年，挪威数学家赛尔伯格证明了这个百分比大于零。

赛尔伯格做出这项成果时正值第二次世界大战的硝烟在欧洲各地弥漫，他所在的挪威奥斯陆大学几乎成了一座孤岛，连数学期刊都无法送达。但赛尔伯格不在乎，他表示“这就像处在一座监狱里，你与世隔绝了，但你显然有机会把注意力集中在自己的想法上，而不会因其他人的所作所为而分心，从这个意义上讲我觉得那种情形对于我的研究来说有许多有利的方面”。他很好地利用了那“许多有利的方面”，孤独地进行着“一个人的战斗”，并最终取得了成果，他的成果是如此显著，以至于玻尔在战后曾戏说战时整个欧洲的数学新闻可以归结为一个词，那就是：赛尔伯格。

不过赛尔伯格虽然证明了那个百分比大于零，却并没有在论文中给出具体数值。在赛尔伯格之后，数学家们开始这一比例的具体数值进行研究，其中以美国数学家列文森的成

果最为显著，他证明了至少有34%的零点位于临界线上。

列文森取得这一成果是在1974年，那时他已年过花甲，并且行将走到生命的尽头(他第二年就去世了)，却依然顽强地从事着数学研究。在列文森之后，这方面的推进变得十分缓慢，几位数学家费尽九牛二虎之力也只能在百分比的第二位数字上做文章，其中包括中国数学家楼世拓与姚琦(他们于1980年证明了至少有35%的零点位于临界线上)。直到1989年，才有人撼动百分比的第一位数字：美国数学家康瑞(Brian Con-rey)证明了至少有40%的零点位于临界线上。这也是这方面——并且也是整个黎曼猜想研究中——目前最强的结果。

另外值得一提的是，“黎曼猜想”这一金字招牌后来被推而广之，用来表示一些“山寨版”和“豪华版”的猜想。那些猜想为什么能跟黎曼猜想共享招牌呢？那是因为它们跟黎曼猜想有极大的相似性，比如都有一个跟黎曼ζ函数相类似的函数，那个函数具有与黎曼ζ函数相类似的性质，等等。在那些猜想中，“豪华版”黎曼猜想乃是一些比黎曼猜想更强(即把黎曼猜想包含为特例)的猜想，它们跟黎曼猜想一样，迄今尚未得到证明(这是显然的，否则的话黎曼猜想也就被证明了)。但“山寨版”黎曼猜想却已全部得到了证明。

撇开我们所取的不中听的绰号不论，它们的证明乃是数学上的重大成果，既催生过新数学方法的诞生，也为证明者摘取过数学界的最高奖——菲尔茨奖。而且，“山寨版”黎曼猜想作为唯一挂着黎曼猜想这一金字招牌却被证明了的猜想，曾使人们对久攻不下的黎曼猜想也一度乐观起来。可惜他山之石，并不总是可以攻玉的。从目前的情况来看，“山寨版”黎曼猜想就能在“山寨”里玩，它们的证明虽然重要，对于解决真正的黎曼猜想却并无实质性的启示。